DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL BINOMIO

En la pestaña de matemáticas puedes encontrar la aplicación y propiedades del Binomio, esta entrada a como el nombre lo indica, es especialmente para demostrarlo. Para salir de la rutina (siempre lo demuestran por inducción), hemos usado un poco de cálculo. Comencemos: 


Tomemos un binomio de la forma f(x)=ax+b, tendríamos: $$[f(x)]^{2}=g(x)\ \ (1)$$ Entonces, g(x) tendrá la forma: $$g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}bx^{n-1}+a_{n-2}b^{2}x^{n-2}+...+a_{1}b^{n-1}x+b^{n}\ \ (2)$$ Vamos a trabajar con ambas expresiones, utilizaré el método de coeficientes indeterminados y un poco de cálculo diferencial. $$[f(x)]^{n}=g(x)$$ $$n[f(x)]^{n-1}f´(x)=g´(x)\ \ ...derivando\ ambos\ miembros$$ $$n[f(x)]^{n}f´(x)=f(x)g´(x)\ \ ...multiplicando\ por\ f(x)$$ $$ng(x)f´(x)=f(x)g´(x)\ \ ...recordando\ (1)$$ $$ng(x)f´(x)=f(x)g´(x)\ \ ...(2)$$ Ahora calculemos las derivadas de f(x) y g(x) $$f´(x)=a\ y\ g´(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}bx^{n-2}+(n-2)a_{n-2}b^{2}x^{n-3}+...+b^{n-1}$$ Para hacer el trabajo un poco más comprensible, vamos a calcular primeramente los productos que aparecen en ambos miembros de (2) por separado. $$ng(x)f´(x)=(na)a_{n}x^{n}+(na)a_{n-1}bx^{n-1}+(na)a_{n-2}b^{2}x^{n-2}+...+(na)a_{1}b^{n-1}x+(na)b^{n}$$ $$f(x)g´(x)=(ax)na_{n}x^{n-1}+(ax)(n-1)a_{n-1}bx^{n-2}+(ax)(n-2)a_{n-2}b^{2}x^{n-3}+\\[0.1cm]...+(ax)b^{n-1}+bna_{n}x^{n-1}+b(n-1)a_{n-1}bx^{n-2}+b(n-2)a_{n-2}b^{2}x^{n-3}+...+b^{n}$$ Listo! Ahora que ya tenemos armado los productos, usamos el método de coeficientes indeterminados, comencemos por los coeficientes de x^n-1 $$(na)a_{n-1}=a(n-1)a_{n-1}+na_{n}$$ $$aa_{n-1}=na_{n}$$ $$a_{n-1}=\frac{na_{n}}{a}$$ Pero sabemos con antelación que a_n=aⁿ por lo tanto: $$a_{n-1}=na^{n-1}$$ Comparemos ahora los coeficientes de x^n-2 $$(na)a_{n-2}=a(n-2)a_{n-2}+(n-1)a_{n-1}$$ $$2aa_{n-2}=(n-1)a_{n-1}$$ $$a_{n-2}=\frac{(n-1)a_{n-1}}{2a}$$ $$a_{n-2}=\frac{n(n-1)a^{n-2}}{2}$$ Comparando coeficientes de x^n-3 $$(na)a_{n-3}=a(n-3)a_{n-3}+(n-2)a_{n-2}$$ $$3aa_{n-3}=(n-2)a_{n-2}$$ $$a_{n-3}=\frac{(n-2)a_{n-2}}{3a}$$ $$a_{n-3}=\frac{n(n-1)(n-2)a^{n-3}}{2*3}$$ Así sucesivamente, vamos observando que estos coeficientes siguen un patrón de la forma:: $$a_{n-k}=\frac{n(n-1)(n-2)...hasta\ (n-k+1)\ factores}{k!}a^{n-k}$$ Como sabemos, es el mismo patrón que siguen los coeficientes binomiales, por lo tanto ha quedado demostrado el teorema de Newton.
Espero éste método haya sido fácil de entender, por supuesto es un poco mas tedioso que por inducción, pero, es una nueva forma de verlo, si tienes alguna duda puedes dejarla en un comentario.