El problema de 00

¿Cuánto es 0⁰? Es una pregunta que ha causado un gran problema en las redes sociales, principalmente en facebook. Podrás decir que no sabes que "decidir", puesto que sabemos que todo número elevado a cero es uno y que cero elevado a cualquier potencia es cero. Hay quienes dicen que es 1, otros dicen que es cero y están los que optan por decir que no está definido. Definir con certeza este valor depende meramente del contexto en el que se esté trabajando. Ésto último se dice como manera balanceada, es decir, para dar la razón a manera general cuando dicen que es  1 ó 0, aunque hay matemáticos que citan el libro de Lia Oubiña donde se dá una demostración clara, utilizando teoría de conjuntos, de que $0^0=1$

Retomando la parte de darle la razón a manera general, con esto quiero decir que en algunos casos es conveniente darle a $0^0$ el valor de uno, pero en otros (que no son muchos) darle el valor de cero. Por ejemplo, en ingeniería se trabaja con las funciones de singularidad para expresar la ecuación de momento en una viga sin necesidad de realizar intervalos, cuando nos topamos con el caso de $0^0$ por conveniencia se toma el valor de 1.  Por otro lado, el valor de 0 se opta en el caso de los números de Munchausen. Un número Munchausen es aquel que se obtiene sumando sus dígitos elevados a la potencia de igual magnitud que la base correspondiente, por ejemplo:
$$3435=3^3+4^4+3^3+5^5$$
Viendo esto, se nos viene clara la idea de que $1^1=1$ también cumple. Pues bien, si tomamos $0^0$ como 0, también podemos tomar el 0 y el 438,579,088 como números de Munchausen. Aunque claro, esto no tiene relevancia alguna.

Trabajemos ahora con el teorema del binomio. $$(a+b)^{n}= \displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n \choose k }a^{n-k}b^{k}$$ Primero que nada, aclaremos que vamos a tomar: n distinto de cero.
Pero, ¿qué pasa en el caso que a ó b es 0?, veamos. $$(0+b)^{n}=(0)^{n}+{n \choose 2}(0)^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}(0)^{n-3}b^{3}+...+0^{0}b^{n}$$ Luego vemos que todos los términos a excepción del último, son cero. Entonces queda: $$b^{n}=0^{0}b^{n}$$ Para que esa igualdad sea cierta, 0⁰ tiene que ser 1.

¿Todavía no te parece? te enseño otra expresión donde es necesario que 0⁰=1.

$$e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}....(1)$$
 Ésta serie en muchas bibliografías de cálculo aparece como:
$$e^{x}=1+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}...(2)$$
Son expresiones equivalentes. ¿Qué pasa si x=0 en (1)? $$e^{0}=0^{0}+\frac{0}{1!}+\frac{0}{2!}+....,$$ Si te fijas, el primer término es el problema que estamos tratando de solucionar, en cambio, el resto cumple la ley de que cero a cualquier potencia siempre es cero. $$e^{0}=0^{0}$$ Para que se cumpla que e⁰=1, entonces 0⁰=1.

Hoy en día, la comunidad de matemáticos que afirman que $0^0=1$ va en crecimiento, ¿Tú qué dices?